排除单一圈长的距离着色

我们考虑最大度至多为 $d$ 的图中的距离着色，以及当 $d\to\infty$ 时排除一个固定的圈长 $\ell$ 如何影响所需颜色的数量。对于顶点着色和 $t\ge 1$，如果要求任意两个由至多 $t$ 条边路径相连的不同顶点着不同颜色，那么通过排除奇数圈长 $\ell \ge 3t$（当 $t$ 为奇数时）或排除偶数圈长 $\ell \ge 2t+2$ 可以获得相对于平凡上界 $O(d^t)$ 的对数（关于 $d$）因子级的减少。对于边着色和 $t\ge 2$，如果要求任意两个由少于 $t$ 条边路径相连的不同边着不同颜色，那么排除偶数圈长 $\ell \ge 2t$ 就足以实现对数因子级的减少。对于 $t\ge 2$，对于 $\ell$ 和 $t$ 的其他奇偶性组合，上述陈述均不可能成立。这些结果可视为 Johansson (1996) 和 Mahdian (2000) 结果的推广，并且与 Alon 和 Mohar (2002) 以及 Kaiser 和 Kang (2014) 的开放问题相关。