高围长平面图的树状距离染色

给定多重图 $G$ 与正整数 $t$，$G$ 的距离-$t$ 边色指数是指对边染色所需的最少颜色数，使得任意一对由少于 $t$ 条边构成的路径相连的不同的边必须染不同颜色。令 $\pi'_t(d)$ 与 $\tau'_t(d)$ 分别为最大度数为 $d$ 的平面多重图类与（简单）树类上该参数的最大值。我们有 $\pi'_t(d)$ 至多为且至少为一个非平凡常数倍大于 $\tau'_t(d)$。（我们特别猜想 $\limsup_{d\to\infty}\pi'_2(d)/\tau'_2(d) =9/4$。）我们证明了对奇数 $t$，存在仅依赖于 $t$ 的量 $g$，使得任意最大度数为 $d$ 且围长至少为 $g$ 的平面多重图，当 $d$ 足够大时其距离-$t$ 边色指数不超过 $\tau'_t(d)$。对偶数 $t$ 则不存在这样的量。我们还展示了距离点染色中一个相关的类似现象。