多重图中维津定理的预着色扩展

设 $G$ 为最大度 $\Delta(G)$ 且最大重数 $\mu(G)$ 的图。Vizing 与 Gupta 在 1960 年代各自独立证明了 $G$ 的色指数至多为 $\Delta(G)+\mu(G)$。图 $G$ 中两条边 $e$ 与 $f$ 的距离是指连接 $e$ 的一个端顶点与 $f$ 的一个端顶点的最短路径的长度。距离-$t$ 匹配是指两两距离至少为 $t$ 的边集。Edwards 等人提出了如下猜想：对任意图 $G$，使用调色板 $\{1, \dots, \Delta(G)+\mu(G)\}$，距离-$2$ 匹配上的任意预着色均可扩展为 $G$ 的正常边着色。Gir\~{a}o 与 Kang 验证了该猜想对距离-$9$ 匹配成立。本文中，对于满足 $\mu(G) \ge 2$ 的多重图 $G$，我们将所需距离由 $9$ 改进为 $3$。