关于 Goldberg 全色数猜想的注记

设 $G=(V(G), E(G))$ 为最大度 $\Delta(G)$、色指数 $\chi'(G)$ 与全色数 $\chi''(G)$ 的重图。由 Behzad 与 Vizing 各自独立提出的全染色猜想指出，对重图 $G$ 有 $\chi''(G)\leq \Delta(G)+\mu(G) +1$，其中 $\mu(G)$ 为 $G$ 的重数。此外，Goldberg 猜想若 $\chi'(G)\geq \Delta(G)+3$ 则 $\chi''(G)=\chi'(G)$，并指出当 $G$ 为边染色临界图时该猜想成立。在假设 Goldberg-Seymour 猜想的前提下，我们在本注记中证明若 $\chi'(G)\geq \max\{ \Delta(G)+2, |V(G)|+1\}$ 则 $\chi''(G)=\chi'(G)$。由此，若 $\chi'(G) \ge \Delta(G) +2$ 且 $G$ 具有生成边染色临界子图，则 $\chi''(G) = \chi'(G)$。