Goldberg-Seymour猜想的简明证明

对于多图 $G$，记 $\chi'(G)$ 为 $G$ 的色度指数，$\Delta(G)$ 为 $G$ 的最大度，$\Gamma(G) = \max\left\{ \left\lceil \frac{2|E(H)|}{|V(H)|-1} \right\rceil: H \subseteq G \text{ 且 } |V(H)| \text{ 为奇数} \right\}$。作为简单图的Vizing经典着色结果的推广，Goldberg-Seymour猜想于1970年代提出，声称 $\chi'(G)=\max\{\Delta(G), \Gamma(G)\}$ 或 $\chi'(G)=\max\{\Delta(G) + 1, \Gamma(G)\}$。Hochbaum、Nishizeki和Shmoys于1986年进一步推测，可以在多项式时间内找到此类着色。2019年，Chen、Jing和Zang宣布了Goldberg-Seymour猜想的一个长期证明，而且该证明中一个案例最近被Jing消除（但该证明仍较长）；且该证明尚未被验证。在本文中，我们给出Goldberg-Seymour猜想的证明，显著简短，并通过提供一个 $O(|V|^5|E|^3)$ 时间算法来确认Hochbaum-Nishizeki-Shmoys猜想，实现对 $G$ 的 $\max\{\Delta(G) + 1, \Gamma(G)\}$-边色着色。