关于 Gupta 的共密度猜想

设 $G=(V,E)$ 为一个多重图。图 $G$ 的{\em 覆盖指数} $\xi(G)$ 是满足如下条件的最大整数 $k$：存在用 $k$ 种颜色对 $E$ 的着色，使得 $G$ 的每个顶点至少与每种颜色的一条边关联。设 $\delta(G)$ 为 $G$ 的最小度，设 $\Phi(G)$ 为 $G$ 的{\em 共密度}，定义为 $$\Phi(G)=\min \Big\{\frac{2|E^+(U)|}{|U|+1}:\,\, U \subseteq V, \,\, |U|\ge 3 \hskip 2mm {\rm and \hskip 2mm odd} \Big\},$$ 其中 $E^+(U)$ 是 $G$ 中所有至少有一个端点在 $U$ 中的边的集合。易见 $\xi(G) \le \min\{\delta(G), \lfloor \Phi(G) \rfloor\}$。1978 年 Gupta 提出了如下共密度猜想：每个多重图 $G$ 满足 $\xi(G)\ge \min\{\delta(G)-1, \, \lfloor \Phi(G) \rfloor\}$，这是关于多重图边着色的 Goldberg-Seymour 猜想的对偶版本。在本注记中，我们证明：若 $\Phi(G)$ 非整数，则 $\xi(G)\ge \min\{\delta(G)-1, \, \lfloor \Phi(G) \rfloor\}$；否则 $\xi(G)\ge \min\{\delta(G)-2, \, \lfloor \Phi(G) \rfloor-1\}$。我们还表明该共密度猜想蕴含 Gupta 于 1967 年提出的另一个关于覆盖指数的猜想。