Hilton 与 Zhao 核心猜想的证明

设 $G$ 为最大度数为 $\Delta$ 的简单图。若 $|E(G)|>\Delta \lfloor |V(G)|/2\rfloor$，则称 $G$ 为\emph{过饱和图}。$G$ 的\emph{核}，记作 $G_{\Delta}$，是由其度数为 $\Delta$ 的顶点在 $G$ 中诱导出的子图。Vizing 的一个经典结果表明，$\chi'(G)$（$G$ 的色指数）要么为 $\Delta$，要么为 $\Delta+1$。对一般图确定其色指数是 NP 完全的。然而，若 $G$ 为过饱和图，则 $\chi'(G)=\Delta+1$。Hilton 与 Zhao 于 1996 年猜想：若 $G$ 是简单连通图且 $\Delta\ge 3$ 以及 $\Delta(G_\Delta)\le 2$，则 $\chi'(G)=\Delta+1$ 当且仅当 $G$ 为过饱和图或 $G=P^*$，其中 $P^*$ 由 Petersen 图删去一个顶点得到。该猜想若成立，则意味着对满足条件的图 $G$ 计算 $\chi'(G)$ 有简便方法。关于此猜想的进展缓慢：仅分别于 2003 年和 2017 年对 $\Delta=3,4$ 得到证实。本文中，我们对该猜想在所有 $\Delta\ge 4$ 的情形予以证实。