极小核度较小的边临界图的过饱和性

设 $G$ 为一个简单图。记 $n$、$\Delta(G)$ 和 $\chi' (G)$ 分别为 $G$ 的阶、最大度和色指数。若 $|E(G)|/\lfloor n/2\rfloor > \Delta(G)$，则称 $G$ 为\emph{过饱和}的；若对 $G$ 的每个真子图 $H$ 均有 $\chi'(H) < \chi'(G)$，则称 $G$ 为{\it 临界}的。显然，若 $G$ 过饱和，则 $\chi'(G) = \Delta(G)+1$。$G$ 的\emph{核}（记为 $G_{\Delta}$）是由其所有最大度顶点导出的子图。我们认为，利用核度条件可视为攻击过饱和猜想的一种途径。沿此方向，本文证明：对任意整数 $k\geq 2$，若 $G$ 是临界图且满足 $\Delta(G)\geq \frac{2}{3}n+\frac{3k}{2}$ 与 $\delta(G_\Delta)\leq k$，则 $G$ 过饱和。