最小度小且最大度大的图的过充实性

给定简单图 $G$，分别用 $\Delta(G)$、$\delta(G)$ 和 $\chi'(G)$ 表示 $G$ 的最大度、最小度和色指数。若 $\chi'(G)=\Delta(G)+1$ 且对 $G$ 的每个真子图 $H$ 有 $\chi'(H)\le \Delta(G)$，则称 $G$ 为 \emph{$\Delta$-临界}；若 $|E(G)|>\Delta \lfloor |V(G)|/2 \rfloor$，则称 $G$ 为 \emph{过充实}。由于 $G$ 中的最大匹配大小至多为 $\lfloor |V(G)|/2 \rfloor$，可知若 $G$ 过充实则 $\chi'(G) = \Delta(G) +1$。反之，设 $G$ 为 $\Delta$-临界图。Chetwynd 与 Hilton 著名的过充实猜想断言：若 $\Delta(G) > |V(G)|/3$，则 $G$ 过充实。本文中，我们证明任意 $\Delta$-临界图 $G$ 在 $\Delta(G) - 7\delta(G)/4\ge(3|V(G)|-17)/4$ 时过充实。