关于满足斯滕特边色调边界条件的、 girth 至少为五的图

Vizing 和 Gupta 证明，图 $G$ 的色指数 $\chi'(G)$ 上界为 $\Delta(G) + \mu(G)$，其中 $\Delta(G)$ 和 $\mu(G)$ 分别为图的最大度和最大重数。Steffen 细化了该上界，证明 $\chi'(G) \leq \Delta(G) + \left\lceil \mu(G)/\left\lfloor g(G)/2 \right\rfloor \right\rceil$，其中 $g(G)$ 为图的 girth。环形图（ring graph）是由循环通过复制某些边获得的图。Steffen 的边界相等的环形图形式为 $\mu C_g$，由在每个边上复制 $\mu$ 次的奇数循环 $C_g$ 获得。我们回答了 Stiebitz 等人关于实现 Steffen 边界的图的特征化所提出的两个问题。特别是，我们证明，如果 $G$ 是一个在 $g(G)\geq 5$ 且 $\chi'(G)\geq \Delta+2$ 时达到 Steffen 边界的临界图，则 $G$ 必须是奇数 girth 的环形图。