关于图的色边稳定性指数

给定一个非平凡图 $G$，使得 $\chi'(G \setminus F)<\chi'(G)$ 的边集 $F$ 的最小基数称为 $G$ 的色边稳定性指数，记作 $es_{\chi'}(G)$，而这样一个（最小）集合 $F$ 称为一个（最小）缓和集。虽然对于任何图 $G$ 都有 $1\le es_{\chi'}(G)\le \lfloor n/2\rfloor$，我们研究了具有极值和近极值 $es_{\chi'}(G)$ 的图。分类了满足 $es_{\chi'}(G)=\lfloor n/2\rfloor$ 的图 $G$，并刻画了满足 $es_{\chi'}(G)=\lfloor n/2\rfloor-1$ 且 $\chi'(G)=\Delta(G)+1$ 的图 $G$。我们确定了奇圈和 $K_2$ 恰好是色边稳定性指数为 $1$ 的正则连通图；另一方面，我们证明了验证一个图 $G$ 是否具有 $es_{\chi'}(G)=1$ 是 NP-难的。我们还证明了，对于 $r\ne 4$ 且 $es_{\chi'}(G)=2$ 的 $r$-正则图 $G$，其每个最小缓和集都是一个匹配。此外，我们提出了一个猜想：对于每个图 $G$，都存在一个最小缓和集，它是一个匹配，并证明了该猜想对于满足 $es_{\chi'}(G)\in\{1,2,\lfloor n/2\rfloor-1,\lfloor n/2\rfloor\}$ 的图 $G$ 以及二部图成立。