关于特殊1类图与(P_3; k)-共临界图的大小

Vizing 的一个著名定理指出，若 $G$ 是最大度数为 $\Delta$ 的简单图，则 $G$ 的色指数 $\chi'(G)$ 为 $\Delta$ 或 $\Delta+1$。若 $\chi'(G)=\Delta$ 则图 $G$ 为 1 类，若 $\chi'(G)=\Delta+1$ 则为 2 类；若 $G$ 连通、为 2 类且对每一条 $e\in E(G)$ 有 $\chi'(G-e)<\chi'(G)$，则 $G$ 是 $\Delta$-临界的。Vizing 在 1968 年提出的一个长期猜想称：每个含 $n$ 个顶点的 $\Delta$-临界图至少有 $(n(\Delta-1)+ 3)/2$ 条边。我们开创性地研究确定 1 类图 $G$ 的最小边数，此外，对每一条 $e\in E(\overline{G})$ 有 $\chi'(G+e)=\chi'(G)+1$。此类图与 $(P_3; k)$-共临界图有密切联系，其中非完全图 $G$ 称为 $(P_3; k)$-共临界图，如果存在 $E(G)$ 的一个 $k$-染色使得 $G$ 不含单色的 $P_3$ 副本，但对每一条 $e\in E(\overline{G})$，$E(G+e)$ 的每一个 $k$-染色都含有一个单色的 $P_3$ 副本。我们利用上述 1 类图大小的界来研究所有 $(P_3; k)$-共临界图的最小边数。我们证明：若 $G$ 是一个含 $n\ge k+2$ 个顶点的 $(P_3; k)$-共临界图，则 $$e(G)\ge {k \over 2}\left(n- \left\lceil {k \over 2} \right\rceil - \varepsilon\right) + {\lceil k/2 \rceil+\varepsilon \choose 2},$$ 其中 $\varepsilon$ 是 $n-\lceil k/2 \rceil$ 除以 $2$ 的余数。该界对所有 $k \ge 1$ 和 $n \ge \left\lceil {3k /2} \right\rceil +2$ 均为最佳可能。