边色临界图的独立数

设 $G$ 为最大度 $\Delta(G)$ 与色指数 $\chi'(G)$ 的简单图。Vizing 的经典结果表明 $\chi'(G)=\Delta(G)$ 或 $\chi'(G)=\Delta(G)+1$。若 $G$ 连通、$\chi'(G)=\Delta(G)+1$ 且对任意 $e\in E(G)$ 有 $\chi'(G-e)=\Delta(G)$，则称 $G$ 为 $\Delta$-临界图。设 $G$ 为 $n$ 顶点 $\Delta$-临界图。Vizing 猜想其独立数 $\alpha(G)$ 至多为 $\frac{n}{2}$。Woodall 给出的该猜想当前最佳结果为 $\alpha(G)<\frac{3n}{5}$。我们证明对任意给定 $\varepsilon\in (0,1)$，存在正常数 $d_0(\varepsilon)$ 与 $D_0(\varepsilon)$，使得若 $G$ 为最小度至少 $d_0$ 且最大度至少 $D_0$ 的 $n$ 顶点 $\Delta$-临界图，则 $\alpha(G)<(\frac{{1}}{2}+\varepsilon)n$。特别地，我们证明若 $G$ 为最小度至少 $d$ 且 $\Delta(G)\ge (d+2)^{5d+10}$ 的 $n$ 顶点 $\Delta$-临界图，则 $$\alpha(G) < \left. \begin{cases} \frac{7n}{12}, & \text{if $d= 3$; } \frac{4n}{7}, & \text{if $d= 4$; } \frac{d+2+\sqrt[3]{(d-1)d}}{2d+4+\sqrt[3]{(d-1)d}}n<\frac{4n}{7}, & \text{if $d\ge 19$. } \end{cases} \right.$$