边色临界图的平均度

给定图 G，分别用 Δ、¯d 和 χ′ 表示 G 的最大度、平均度和色指数。若简单图 G 满足 χ′(G) = Δ+1 且对 G 的每个真子图 H 有 χ′(H) ≤ Δ，则称 G 为边-Δ-临界的。Vizing 于 1968 年猜想：若 G 是边-Δ-临界的，则 ¯d ≥ Δ-1 + 3/n。我们证明：当 Δ ≥ 66 时，¯d ≥ 0.69241Δ - 0.15658；当 Δ = 65 时，¯d ≥ 0.69392Δ - 0.20642；当 56 ≤ Δ ≤ 64 时，¯d ≥ 0.68706Δ + 0.19815。该结果改进了 Woodall 于 2007 年对 Δ ≥ 56 得到的最佳已知界 (2/3)(Δ+2)。此外，Woodall 构造了一个无穷图族，表明其界无法通过著名的 Vizing 邻接引理和其他已知边染色技术改进。为突破这一障碍，我们采用最近发展的 Tashkinov 树重染色技术，将 Vizing 扇技术推广到更大的一类树上。