边临界唯一 3-可着色平面图的边数

如果图 $G$ 的色数为 $k$ 且 $G$ 在颜色置换下仅有一种 $k$-着色，则称 $G$ 为\emph{唯一 $k$-可着色}。如果对于任何边 $e\in E(G)$，$G-e$ 都不是唯一 $k$-可着色图，则唯一 $k$-可着色图 $G$ 称为边临界的。Mel'nikov 和 Steinberg [L. S. Mel'nikov, R. Steinberg, One counterexample for two conjectures on three coloring, Discrete Math. 20 (1977) 203-206] 曾要求找出具有 $n$ 个顶点的边临界 3-可着色平面图的边数的精确上界。在本文中，我们给出了边临界唯一 3-可着色平面图的一些性质，并证明了如果 $G$ 是这样的具有 $n(\geq6)$ 个顶点的图，则 $|E(G)|\leq \frac{5}{2}n-6$，这改进了 Matsumoto [N. Matsumoto, The size of edge-critical uniquely 3-colorable planar graphs, Electron. J. Combin. 20 (3) (2013) $\#$P49] 给出的上界 $\frac{8}{3}n-\frac{17}{3}$。此外，我们发现了一些具有 $n(=10,12, 14)$ 个顶点和 $\frac{5}{2}n-7$ 条边的边临界 3-可着色平面图。