关于 $(K_t, K_{1,k})$-余临界图的大小

给定图 $G, H_1, H_2$，若 $G$ 的边的每个 $\{$红, 蓝$\}$ 染色都包含 $H_1$ 的红色拷贝或 $H_2$ 的蓝色拷贝，则记 $G \rightarrow ({H}_1, H_2)$。一个非完全图 $G$ 称为 $(H_1, H_2)$-余临界的，如果 $G \nrightarrow ({H}_1, H_2)$，但对 $\overline{G}$ 中的每条边 $e$ 都有 $G+e\rightarrow ({H}_1, H_2)$。受 Hanson 和 Toft 于 1987 年提出的一个猜想的启发，我们研究所有 $n$ 个顶点上的 $(K_t, K_{1,k})$-余临界图的最小边数。我们证明对所有 $t\ge3$ 和 $k\ge 3$，存在常数 $\ell(t, k)$ 使得对所有 $n \ge (t-1)k+1$，若 $G$ 是 $n$ 个顶点上的 $(K_t, K_{1,k})$-余临界图，则 $$e(G)\ge \left(2t-4+\frac{k-1}{2}\right)n-\ell(t, k).$$ 此外，当 $t\in\{3, 4,5\}$ 且所有 $k\ge3$ 和 $n\ge (2t-2)k+1$ 时，该线性界渐近最佳。对于 $t\ge6$ 构造极值的 $(K_t, K_{1,k})$-余临界图似乎非平凡。我们还通过证明所有这样的图至少有 $3n-4$ 条边，得到了 $n\ge13$ 个顶点上的 $(K_3, K_{1,3})$-余临界图大小的精确界。