关于无 $K_4$ 的 6-临界图的最小边密度

Kostochka 和 Yancey 通过证明每个 $k$-临界图 $G$ 满足 $|E(G)| \geq (\frac{k}{2} - \frac{1}{k-1})|V(G)| - \frac{k(k-3)}{2(k-1)}$,解决了 Ore 关于 $k$-临界图渐近密度的一个著名猜想。该界取等的图类,即 $k$-Ore 图,含有数量显著众多的 $K_{k-2}$-子图。后续工作试图确定不含大团作为子图的 $k$-临界图的渐近密度,但此问题仅取得部分进展。第二作者证明了若 $G$ 是 5-临界且无 $K_3$-子图,则对 $\varepsilon = 1/84$,有 $|E(G)| \geq (\frac{9}{4} + \varepsilon)|V(G)| - \frac{5}{4}$。亦有结果表明对所有 $k \geq 33$,存在 $\varepsilon_k > 0$ 使得无 $K_{k-2}$-子图的 $k$-临界图满足 $|E(G)| \geq (\frac{k}{2} - \frac{1}{k-1} + \varepsilon_k)|V(G)| - \frac{k(k-3)}{2(k-1)}$。本文中,我们发展了可用于解决剩余困难情形 $6 \leq k \leq 32$ 的一般结构结果。我们将结果应用于仔细分析 6-临界图的结构,并使用放电论证证明对 $\varepsilon_6 = 1/1050$,无 $K_4$ 子图的 6-临界图满足 $|E(G)| \geq ( \frac{k}{2} - \frac{1}{k-1} + \varepsilon_6 ) |V(G)| - \frac{k(k-3)}{2(k-1)}$。