$(K_s, K_t)$-共临界图的最小度

给定图 $G, H_1, H_2$，若 $G$ 的边的每种红、蓝二染色都包含 $H_1$ 的红副本或 $H_2$ 的蓝副本，则记 $G \rightarrow ({H}_1, H_2)$。若非完全图 $G$ 满足 $G \nrightarrow ({H}_1, H_2)$ 且对 $G$ 的补图中的每条边 $e$ 有 $G+e\rightarrow ({H}_1, H_2)$，则称 $G$ 为 $(H_1, H_2)$-共临界图。共临界图的概念由 Nešetřil 于 1986 年提出。Galluccio、Simonovits 和 Simonyi 在 1992 年证明，每个具有 $n\ge6$ 个顶点的 $(K_3, K_3)$-共临界图的最小度至少为 4，且该界对所有 $n\ge 6$ 均为紧的。本文首先将前述结果推广到所有 $(K_s, K_t)$-共临界图，证明每个 $(K_s, K_t)$-共临界图的最小度至少为 $2t+s-5$，其中 $t\ge s\ge 3$。接着我们证明，每个具有 $n\ge9$ 个顶点的 $(K_3, K_4)$-共临界图的最小度至少为 7，且该界对所有 $n\ge 9$ 均为紧的。这以肯定方式回答了第三作者关于 $s=3$ 且 $t=4$ 情形的问题。