Hilton-Zhao 猜想对最大度为 4 的图成立

若简单图 $G$ 满足 $|E(G)|>\Delta\lfloor|V(G)|/2\rfloor$，则称之为 \emph{过满的}。由鸽巢原理可知，每个过满图 $G$ 均有 $\chi'(G)>\Delta$。图的 \emph{核}，记为 $G_\Delta$，是由其度为 $\Delta$ 的顶点导出的子图。Vizing 邻接引理表明，若 $\chi'(G)>\Delta$，则 $G_\Delta$ 包含圈。Hilton 和 Zhao 猜想：若 $G_\Delta$ 的最大度为 2 且 $\Delta\ge 4$，则 $\chi'(G)>\Delta$ 当且仅当 $G$ 是过满图。我们证明了该猜想对于 $\Delta=4$ 的情形成立。