弱化全着色猜想：全图上的弱TCC与Hadwiger猜想

Hadwiger猜想是图论中最重要的长期未决猜想之一。Reed和Seymour在2004年证明Hadwiger猜想对线图成立。我们研究该猜想在密切相关的全图类上。图$G$的全图，记为$T(G)$，定义在顶点集$V(G)\sqcup E(G)$上，其中$c_1,c_2\in V(G)\sqcup E(G)$在$G$中彼此相邻或关联时相邻。我们首先证明存在常数$C$，使得若$G$的连通度至少为$C$，则Hadwiger猜想对$T(G)$成立。图$G$的全色数$\chi"(G)$定义为其全图的色数，即$\chi"(G)=\chi(T(G))$。图论中另一个著名猜想，全着色猜想或TCC，陈述对每个图$G$，$\chi"(G)\leq\Delta(G)+2$，其中$\Delta(G)$为$G$的最大度。我们证明，若全着色猜想的一个较弱版本（弱TCC），即$\chi"(G)\leq\Delta(G)+3$，对在某子类运算下封闭的图类$\mathcal{F}$成立，则Hadwiger猜想对$\mathcal{F}$中图的全图类成立。这促使我们寻找满足弱TCC的图类。值得注意的是，即使对4-可着色图（事实上即使对平面图）TCC的完整证明在数十年努力后仍难以获得；但弱TCC可对4-可着色图轻易证明。我们注意到，尽管从初期起就有研究$\chi"(G)$关于$\chi(G)$的兴趣，弱TCC对$k$-可着色图即使$k=5$也未被证明成立。在论文后半部分，我们通过证明对每个5-可着色图$G$有$\chi"(G)\leq\Delta(G)+3$，对全着色文献作出贡献。