关于无 $H$- minor 图的可列表着色数

给定图 $H$，分别记 $f_\chi(H)$ 与 $f_\ell(H)$ 为无 $H$-minor 图的最大色数与最大列表色数。Hadwiger 于 1943 年著名的着色猜想断言对每个 $t \ge 2$ 有 $f_\chi(K_t)=t-1$。相比之下，对于列表着色已知 $2t-o(t) \le f_\ell(K_t) \le O(t (\log \log t)^6)$，因此 $f_\ell(K_t)$ 与 $f_\chi(K_t)$ 的猜想值 $t-1$ 至少相差一个常数因子。Seymour 提出的所谓 $H$-Hadwiger 猜想要求证明对给定图 $H$ 有 $f_\chi(H)=\textsf{v}(H)-1$（这将由 Hadwiger 猜想推出）。本文中，我们证明关于 $f_\ell(H)$ 的若干新下界，从而探索 $H$-Hadwiger 猜想的列表着色推广的界限。我们的主要结果为：对每个 $\varepsilon>0$ 及所有充分大的图 $H$，有 $f_\ell(H)\ge (1-\varepsilon)(\textsf{v}(H)+\kappa(H))$，其中 $\kappa(H)$ 表示 $H$ 的顶点连通度。对每个 $\varepsilon>0$ 存在 $C=C(\varepsilon)>0$ 使得渐近几乎每个具有 $\left\lceil C n\log n\right\rceil$ 条边的 $n$ 顶点图 $H$ 满足 $f_\ell(H)\ge (2-\varepsilon)n$。第一个结果推广了关于完全图与完全二部图的最近结果，并表明对所有具有线性连通度的大图 $H$，无 $H$-minor 图的列表色数与自然下界 $(\textsf{v}(H)-1)$ 相差一个常数因子。第二个结果告诉我们，即使 $H$ 是非常稀疏的图（其平均度仅为其阶的对数级），$f_\ell(H)$ 仍可与 $(\textsf{v}(H)-1)$ 相差一个任意接近 $2$ 的常数因子。从概念上这些结果表明，使 $f_\ell(H)$ 接近 $(\textsf{v}(H)-1)$ 的图 $H$ 通常相当稀疏。