聚簇 Hadwiger 猜想的证明

Hadwiger 猜想断言每个无 $K_h$-minor 的图都是恰当 $(h-1)$-可着色的。我们证明 Hadwiger 猜想的如下非恰当类比：对固定的 $h$，每个无 $K_h$-minor 的图都是 $(h-1)$-可着色的，且单色分支大小有界。无论单色分支大小如何，颜色数都是最优的。它解决了 Edwards、Kang、Kim、Oum 和 Seymour [\emph{SIAM J. Disc. Math.} 2015] 的一个开放问题，并终结了始于 2007 年的一系列研究。类似地，对固定的 $t\geq s$，我们证明每个无 $K_{s,t}$-minor 的图都是 $(s+1)$-可着色的，且单色分支大小有界。颜色数是最优的，解决了 van de Heuvel 和 Wood [\emph{J.~London Math.\ Soc.} 2018] 的一个开放问题。我们实际上证明了一个单一定理，上述两个结果都是它的直接推论。对于被排除的 apex 子式，我们加强结果如下：对固定的 $t\geq s\geq 3$ 以及任意固定的 apex 图 $X$，每个无 $K_{s,t}$-子图且无 $X$-minor 的图都是 $(s+1)$-可着色的，且单色分支大小有界。颜色数同样是最优的。