关于渐近最优邻和区分染色的注记

使得无孤立边的图 $G=(V,E)$ 存在正常边染色 $c:E\to\{1,2,\ldots,k\}$ 且满足对每条 $uv\in E$ 有 $\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$ 的最小 $k$ 记为 $\chi'_{\Sigma}(G)$。已有猜想认为，对于阶至少为三且不同于圈 $C_5$ 的每个连通图，有 $\chi'_{\Sigma}(G)\leq \Delta + 2$，其中 $\Delta$ 是 $G$ 的最大度。已知对于无孤立边的图 $G$，有 $\chi'_{\Sigma}(G) = \Delta + O(\Delta^\frac{5}{6}\ln^\frac{1}{6}\Delta)$。我们使用一种涉及组合算法并辅以概率方法的更简单方法，将该上界改进为 $\chi'_{\Sigma}(G) = \Delta + O(\Delta^\frac{1}{2})$。对于该问题的全版本也给出了相同的上界。