图的远程全和区分指标

设 $c:V\cup E\to\{1,2,\ldots,k\}$ 为最大度为 $\Delta$ 的图 $G=(V,E)$ 的一个正常全着色。我们称顶点 $u,v\in V$ 为和区分的，如果 $c(u)+\sum_{e\ni u}c(e)\neq c(v)+\sum_{e\ni v}c(e)$。我们用 $\chi"_{\Sigma,r}(G)$ 表示容许这样一个着色 $c$ 的最小整数 $k$，使得在 $G$ 中对于彼此距离至多为 $r$ 的任意 $u,v\in V$，$u\neq v$，都是和区分的。对于每个正整数 $r$，已知存在一个无限族例子满足 $\chi"_{\Sigma,r}(G)=\Omega(\Delta^{r-1})$。在本文中，我们证明了对每个整数 $r\geq 3$ 及每个图 $G$ 均有 $\chi"_{\Sigma,r}(G)\leq (2+o(1))\Delta^{r-1}$，而对于 $r=2$ 则有 $\chi"_{\Sigma,2}(G)\leq (18+o(1))\Delta$。