具有有界最小度的图的远距离和区分指数

对于任意最大度为 $\Delta$ 且无孤立边的图 $G=(V,E)$，以及正整数 $r$，我们用 $\chi'_{\Sigma,r}(G)$ 表示 $G$ 的 $r$-距离和区分指数。这是使得存在正常边染色 $c:E\to\{1,2,\ldots,k\}$ 满足对 $G$ 中距离至多为 $r$ 的每一对相异顶点 $u,v$ 均有 $\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$ 的最小整数 $k$。曾有猜想：对每个 $r\geq 3$，有 $\chi'_{\Sigma,r}(G)\leq (1+o(1))\Delta^{r-1}$。迄今为止特别已证明若 $r\geq 4$ 则 $\chi'_{\Sigma,r}(G)\leq 6\Delta^{r-1}$。结合概率与构造方法，我们证明若 $G$ 的最小度至少为 $\ln^8\Delta$，则该上界可改进为 $\chi'_{\Sigma,r}(G)\leq (4+o(1))\Delta^{r-1}$。