边着色临界多重图的结构性质

Gupta (1967)、Goldberg (1973)、Andersen (1977) 和 Seymour (1979) 以不同形式猜想：如果 $G$ 是一个边 -$k$-临界图且 $k \ge \Delta +1$，则 $|V(G)|$ 为奇数，且对于每条边 $e$，$E(G-e)$ 是不交的近完美匹配的并集，其中 $\Delta$ 表示 $G$ 的最大度。Tashkinov 树方法表明临界图包含一个具有两个重要性质的子图，称为封闭性和初等性。最近，人们努力将图扩展到 Tashkinov 树之外。然而，这些结果只能保持这两个基本性质中的一个。在本文中，我们开发了将 Tashkinov 树扩展到同时具有这两个性质的更大子图的技术。应用我们的结果，我们改进了几乎所有关于 Goldberg 猜想的已知结果。特别是，我们证明了对于满足 $|V(G)| \le 39$ 且 $|\Delta(G)| \le 39$ 的图 $G$，Goldberg 猜想成立；对于 $m \le 39$，Jacobsen 的等价猜想成立，而此前已知的界限为 $23$。