$r$边彩色图的单色循环分区问题

Letzter和Pokrovskiy独立提出的问题：给定$r$边彩色图，其顶点集需要多少个顶点互不相交的单色循环才能覆盖？这取决于其最小（未彩色）度。我们在对数$r$因子内解决了这一问题。具体而言，我们证明了对于任意$r \geq 2$和$\delta \in (0,1/2)$，任何$n$顶点$r$边彩色图$G$都满足$\delta(G) \geq (1- \delta)n$可被覆盖为$\mathcal{O}(r \log r \cdot \lceil r/\log(1/\delta)\rceil)$个顶点互不相交的单色循环。我们构建了图表明这在所有$r$和$\delta$的值上都在对数$r$因子内是紧致的，并且在此过程中反驳了Bal和DeBiasio关于单色树覆盖的猜想。