任意具有多个针脚的有限图的Falconer类型结果

对著名的Falconer距离问题的一个推广要求给定图G=(\mathcal{V},\mathcal{E})，其顶点集合为\mathcal{V}和边集合为\mathcal{E}，紧凑集E\subset \mathbb{R}^d，d\geq 2}的Hausdorff维度需要多大才能保证距离图 $$\Delta^{G}(E):= \lbrace (|x_{i}-x_{j}|)_{(v_i,v_j)\in\mathcal{E}} : x_1,\ldots,x_{|\mathcal{V}|}\in E \ \rbrace$$具有正的|\mathcal{E}|维Lebesgue测度。在这里，我们将边\mathcal{E}表示为有序的顶点对(v_i,v_j)，其中i<j。针对特定图（如树和单纯形）已存在许多结果。一些一般结果存在，但需要复杂的计算，例如计算自然测度在配置集上的傅里叶衰减或关联傅里叶积分算子的映射属性。在本文中，我们使用图论中的k-退化概念，这是一种易于计算的方法，为任何非平凡图G获得非平凡的维度阈值\frac{d+k}{2}，d>k。我们方法的关键要素是识别被钉扎的星形图作为一般图的正确构建块，以及对泰勒和第三位作者所述的Fubini类型论证进行细化。我们进一步将其推广到具有多个针脚的图，通过引入k-可接受性概念，这是一种考虑针脚的k-退化的推广，以及将Fubini论证扩展到多个针脚的设置。不仅我们为任何距离图在足够大的维度下获得非平凡结果，而且对于特定图（如循环图）我们的結果也很强，改进了之前最好的结果。我们的方法可推广到一般的两点配置，前提是相应的星形构建块可用。