k-度量维的模型

对于无向图G=(V,E)，如果顶点x到u和v的距离不相等，则称顶点x∈V分离顶点u和v（其中u,v∈V，u≠v）。给定一个整数参数k≥1，如果对于每一对不同的顶点u,v，存在至少k个不同的顶点x_1,x_2,...,x_k∈L，每个都分离u和v，则顶点集L⊆V是一个可行解。这样的可行解称为“地标集”，图的k-度量维是参数k下地标集的最小基数。k=1的情况是一个经典问题，在其加权版本中，每个顶点v有一个非负权重，目标是找到总权重最小的地标集。我们将问题推广到k≥2，引入两个模型，并寻求这个更一般问题的加权版本和未加权版本的解。在全对（AP）模型中，需要对V中每一对不同顶点进行k次分离；而在非地标模型（NL）中，仅需要对V\L中不同的顶点对进行这样的分离。我们研究了两种模型（AP和NL）的加权和未加权版本，针对路径图、完全图、完全二分图和完全轮图，对于所有k≥2的值。我们给出了这些情形的算法，从而展示了两个新模型之间的差异，以及k=1和k≥2情况之间的差异。