k-度量反维度：一种社交图的隐私度量

设 $G = (V, E)$ 为一个简单连通图，$S = \{w_1, \cdots, w_t\} \subseteq V$ 为顶点的有序子集。顶点 $u\in V$ 关于 $S$ 的度量表示为 $t$-向量 $r(u|S) = (d_G(u, w_1), \cdots, d_G(u, w_t))$，其中 $d_G(u, v)$ 表示 $G$ 中 $u-v$ 最短路径的长度。若对任意 $u, v \in V$，$r(u|S) = r(v|S)$ 蕴含 $u = v$，则称集合 $S$ 为 $G$ 的分辨集 (resolving set)。分辨集的最小基数称为 $G$ 的度量维度。在本文中，据我们所知，我们提出了图论中的一个新问题，该问题类似于上述度量维度问题。若 $k$ 是满足以下条件的最大正整数：对于每个顶点 $v \in V-S$，存在其他 $k-1$ 个不同的顶点 $v_1, \cdots, v_{k-1} \in V-S$，使得 $r(v|S) = r(v_1|S) = \cdots = r(v_{k-1}|S)$，即 $v$ 与 $v_1, \cdots, v_{k-1}$ 关于 $S$ 具有相同的度量表示，则称 $S$ 为 $k$-反分辨集 ($k$-antiresolving set)。$G$ 的 $k$-度量反维度 ($k$-metric antidimension) 定义为 $G$ 的所有 $k$-反分辨集中最小的基数。在本文中，我们引入了一种基于 $k$-度量反维度问题的新型隐私度量，名为 $(k, \ell)$-匿名性 ($(k, \ell)$-anonymity)，旨在评估社交图抵抗主动攻击的能力。因此，我们提出了一种真偏置算法 (true-biased algorithm) 用于计算随机图的 $k$-度量反维度。根据实证结果，当寻找 $k$-反分辨基和 $k$-反分辨集时，我们算法的成功率分别超过 $80 \%$ 和 $90 \%$。我们还研究了 $k$-反分辨集和图的 $k$-度量反维度的理论性质。特别地，我们重点关注路径、圈、完全二部图和树。