图混合度量维数的若干新通用下界

设 $G=(V,E)$ 为一个连通简单图。$V$ 中顶点 $u$ 与 $v$ 之间的距离 $d(u,v)$ 为最短 $u-v$ 路中的边数。若 $e=uv \in E$ 为 $G$ 中一条边，则对 $G$ 中某顶点 $w$ 定义距离 $d(w,e)=\min(d(w,u),d(w,v))$。若 $d(w,x) \neq d(w,y)$，则称顶点 $w \in V$ 分辨两个元素 $x,y \in V \cup E$。混合分辨集是一个顶点集 $S$，$S\subseteq V$，当且仅当 $E \cup V$ 中任意两个元素都被 $S$ 中某个元素分辨。关于包含关系极小的分辨集称为混合分辨基，其基数称为图 $G$ 的混合度量维数。该图不变量近年被引入，研究其一般性质并确定其在各类图上的取值颇具意义。由于混合度量维数问题是最小化问题，寻求高质量下界亦受关注。本文引入三个新的通用下界。利用其中之一确定了环面图的混合度量维数精确值。最后，在两组成例上对比新下界与文献已知下界：- 所有 21 个 5 阶连通图；- 选定的 12 个著名图，阶数从 10 到 36。