冠积图的划分维度

给定连通图 $G$ 的顶点集 $S=\{v_1,v_2,...,v_k\}$，$G$ 的顶点 $v$ 关于 $S$ 的度量表示为向量 $r(v|S)=(d(v,v_1),d(v,v_2),...,d(v,v_k))$，其中 $d(v,v_i)$，$i\in \{1,...,k\}$ 表示 $v$ 和 $v_i$ 之间的距离。如果对于图 $G$ 的每一对顶点 $u,v$，都有 $r(u|S)\ne r(v|S)$，则 $S$ 是 $G$ 的一个分辨集。图 $G$ 的度量维度 $dim(G)$ 是 $G$ 的任意分辨集的最小基数。给定连通图 $G$ 的顶点的一个有序划分 $\Pi =\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，图 $G$ 的顶点 $v$ 关于划分 $\Pi$ 的划分表示为向量 $r(v|\Pi)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中 $d(v,P_i)$，$1\leq i\leq t$，表示顶点 $v$ 和集合 $P_i$ 之间的距离，即 $d(v,P_i)=\min_{u\in P_i}\{d(v,u)\}$。如果对于图 $G$ 的每一对顶点 $u,v$，都有 $r(u|\Pi)\ne r(v|\Pi)$，则 $\Pi$ 是 $G$ 的一个分辨划分。图 $G$ 的划分维度 $pd(G)$ 是 $G$ 的任意分辨划分中集合的最小数目。设 $G$ 和 $H$ 分别是阶为 $n_1$ 和 $n_2$ 的两个图。冠积 $G\odot H$ 定义为由图 $G$ 和 $H$ 通过取 $G$ 的一个副本和 $H$ 的 $n_1$ 个副本，然后将 $H$ 的第 $i$ 个副本中的所有顶点与 $G$ 的第 $i$ 个顶点通过一条边连接而得到的图。在此我们研究 $pd(G\odot H)$ 与图 $G\odot H$、$G$ 和 $H$ 的几个参数之间的关系，包括 $dim(G\odot H)$、$pd(G)$ 和 $pd(H)$。