循环图的分划维数

对于连通图 $G(V,E)$ 的顶点 $v$ 和顶点子集 $S \subseteq V$，$v$ 与 $S$ 之间的距离定义为 $d(v,S)=min\{d(v,x):x \in S\}$。对于 $V$ 的一个有序 \emph{k}-分划 $\Pi=\{S_1,S_2\ldots S_k\}$，$v$ 关于 $\Pi$ 的表示为 $k$-向量 $r(v|\Pi) =(d(v,S_1),d(v,S_2)\ldots d(v,S_k))$。若所有 $v \in V$ 的 $k$-向量 $r(v|\Pi)$ 互不相同，则称 $k$-分划 $\Pi$ 为解析分划。使得 $V$ 存在解析 $k$-分划的最小 $k$ 称为 $G$ 的 \emph{分划维数}。Salman 等人{\rm\cite{SaJaCh12}} 声称，对于所有偶数 $n\geq6$，一类循环图 $C(n,\pm \{1,2\})$ 的分划维数为 4，当 $n$ 为奇数时为 3。本文我们求得循环图 $G=C(n, \pm \{1,2 \ldots j\}), 1\leq j < \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$, $n \geq(j+k)(j+1)$, $n \equiv \ k \ mod \ (2j)$ 且 $k$ 与 $2j$ 互质时的分划维数为：\begin{eqnarray*} pd(G) &=& j+1 \ \ \ \ \ \ \ 当 \ j \ 为偶数且所有 \ k=2m-1, 1 \leq m \leq j \ pd(G)&=& j+1\ \ \ \ \ \ \ 当 \ j \ 为奇数且所有 \ k=2m, 1 \leq m \leq j. \end{eqnarray*}