关于树的划分维数

给定连通图 $G=(V,E)$ 的顶点集 $V$ 的一个有序划分 $\Pi =\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，顶点 $v\in V$ 关于划分 $\Pi$ 的 \emph{划分表示} 是向量 $r(v|\Pi)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中 $d(v,P_i)$ 表示顶点 $v$ 与集合 $P_i$ 之间的距离。$V$ 的一个划分 $\Pi$ 是 $G$ 的 \emph{分辨划分}，如果 $G$ 的不同顶点具有不同的划分表示，即对于每一对顶点 $u,v\in V$，$r(u|\Pi)\ne r(v|\Pi)$。$G$ 的 \emph{划分维数} 是 $G$ 的任意分辨划分中集合的最小数量。在本文中，我们获得了关于树的划分维数的几个紧致界。