图的竞赛传递性

设 $G=(V, E)$ 为一个图，其中 $V$ 和 $E$ 分别为顶点集和边集。对于 $V$ 的两个不相交子集 $A$ 和 $B$，如果 $B$ 中的每个顶点在 $G$ 中都与 $A$ 中的至少一个顶点相邻，我们称 $A$ \textit{支配} $B$。如果对于所有的 $1\leq i<j\leq k$，$V_i$ 支配 $V_j$，则图 $G$ 的顶点划分 $\pi = \{V_1, V_2, \ldots, V_k\}$ 称为大小为 $k$ 的 \emph{传递划分}。如果对于所有的 $1\leq i<j\leq k$，$V_i$ 支配 $V_j$，且对于 $i<j$，$V_j$ 不支配 $V_i$，则图 $G$ 的顶点划分 $\pi = \{V_1, V_2, \ldots, V_k\}$ 称为大小为 $k$ 的 \emph{竞赛传递划分}。存在上述划分的最大整数 $k$ 称为图 $G$ 的 \emph{竞赛传递性}，记为 $TTr(G)$。\textsc{极大竞赛传递性问题} 是为给定图寻找具有最多部分数的竞赛传递划分。在本文中，我们从结构和算法角度研究了传递划分的这一变体。我们证明了该问题的判定版本对于弦图（连通）、完美消去二部图（不连通）和双弦图（不连通）是 NP 完全的。另一方面，我们证明了该问题对于树可以在多项式时间内求解。此外，我们刻画了具有相等传递性和竞赛传递性的 \textup{Type-I BCG}，并找到了 \textup{Type-II BCG} 中上述两个参数相等的若干充分条件。最后，我们证明了对于 \textup{Type-III BCG}，这两个参数永远不相等。