关于图的联盟图与联盟计数

设 $G$ 为一个具有顶点集合 $V(G)$ 和阶数 $n$ 的图。图 $G$ 中的联盟由两个互不相交的顶点集合 $V_1$ 和 $V_2$ 组成，其中 $V_1$ 和 $V_2$ 都不是支配集，但它们的并 $V_1 \cup V_2$ 是支配集。图 $G$ 中的联盟划分（缩写为 $c$-划分）是顶点划分 $\pi=\left\{V_1 , V_2,\dots, V_k\right\}$，使得 $\pi$ 中的每个集合 $V_i$ 要么是单例支配集，要么不是支配集但与 $\pi$ 中的另一个集合 $V_j$ 形成联盟。集合 $V_i$ 和 $V_j$ 是 $G$ 中的联盟伙伴。联盟数 $C(G)$ 等于 $G$ 的所有 $c$-划分中最大阶数 $k$。对于任意图 $G$ 及其 $c$-划分 $\pi=\left\{V_1,V_2,\dots,V_k\right\}$，图 $CG(G,\pi)$ 的联盟图是由顶点集合 $V_1,V_2,\dots, V_k$ 组成的图，与集合 $\pi$ 一一对应，两个顶点 $V_i$ 和 $V_j$ 在 $CG(G,\pi)$ 中相邻当且仅当集合 $V_i$ 和 $V_j$ 是 $\pi$ 中的联盟伙伴。在[4]中，作者证明了对于每个图 $G$，都存在一个图 $H$ 和 $c$-划分 $\pi$ 使得 $CG(H,\pi)\cong G$，并提出问题：是否存在一个阶数更小 $n^*$ 和大小更小 $m^*$ 的图 $H^*$ 及其 $c$-划分 $\pi^*$ 使得 $CG(H^*,\pi^*)\cong G$? 本文构造了一个阶数和大小都较小的图 $H^*$ 及其 $c$-划分 $\pi^*$，使得 $CG(H^*,\pi^*)\cong G$。最近，Haynes 等人[5]定义了图 $G$ 的联盟计数 $c(G)$ 为其任何 $c$-划分中不同联盟的最大数目。我们特征化了所有 $c(G)=1$ 的图。进一步地，在联盟数的一些适当条件下，我们研究了联盟计数的性质。