图中的 $k$ 公平联盟

设 $G = (V,E)$ 为简单图。若集合 $S \subseteq V$ 中的每个顶点不在 $S$ 中且恰好有 $k$ 个邻居在 $S$ 中，则称 $S$ 为 $k$ 公平支配集。若两个互斥集合 $A, B \subseteq V$ 中Neither $A$ 也 $B$ 为 $k$ 公平支配集，而其并集 $A \cup B$ 为 $G$ 的 $k$ 公平支配集，则称 $A, B$ 为 $G$ 的 $k$ 公平联盟。若划分 $\pi = \{V_1, V_2, \ldots, V_m\}$ 将 $V$ 完全划分，则若每个集合 $V_i\in\pi$ 要么 $V_i$ 为恰好有 $k$ 个顶点的 $k$ 公平支配集，要么 $V_i$ 不是 $k$ 公平支配集，但与 $\pi$ 中某个其他集合 $V_j$ 形成 $k$ 公平联盟，则称 $\pi$ 为 $k$ 公平联盟划分。$k$ 公平联盟数 $C_{kf}(G)$ 为 $G$ 的 $k$ 公平联盟划分中最大可能大小。本研究旨在图中 $k$ 公平联盟的概念上开展探索性研究，呈现基本发现。