总k-联盟：界限、精确值及其在双重联盟中的应用

设 G=\big{(}V(G),E(G)\big{} 为最小度为 $k$ 的图。若集合 $S\subseteq V(G)$ 中的每个顶点在 $G$ 中至少有 $k$ 个邻居，则称 $S$ 为总 $k$ 主导集。若两个不相交的集合 $A,B\subset V(G)$ 使得 $A$ 和 $B$ 均非总 $k$ 主导集，但其并集 $A\cup B$ 为总 $k$ 主导集，则称 $A,B$ 为图 $G$ 的总 $k$ 联盟。若顶点划分 $\Omega=\{V_{1},\ldots,V_{|\Omega|}\}$ 中每个集合 $V_{i}$ 都与另一个集合 $V_{j}$ 形成总 $k$ 联盟，则称 $\Omega$ 为总 $k$ 联盟划分。图 $G$ 的总 $k$ 联盟数 ${\rm TC}_{k}(G)$ 等于总 $k$ 联盟划分的最大基数。本文从组合角度研究了上述概念。证明了关于 ${\rm TC}_{k}(G)$ 的若干尖锐下界和上界，其中主要关注 $k=2$ 时的不变式。作为结果，得到当 $G$ 为立方图或4-regular图时，${\rm TC}_2(G)$ 的精确值。通过类似方法，回答了Henning和Mojdeh关于双重联盟的开放问题。此外，确定了当 $G$ 为立方图时，${\rm TC}_3(G)$ 的值。