关于树的联盟数

设 $G$ 为顶点集 $V$、阶 $n = |V|$ 的图，$\delta(G)$ 与 $\Delta(G)$ 分别为 $G$ 的最小度与最大度。若两个不相交集合 $V_1, V_2 \subseteq V$ 均不是 $G$ 的支配集但其并 $V_1\cup V_2$ 是，则称它们在 $G$ 中形成一个联盟。若 $V$ 的顶点划分 $\Psi=\{V_1,\ldots, V_k\}$ 满足每个 $V_i\in \Psi$ 要么是基数为 $|V_i|=1$ 的 $G$ 的支配集，要么不是支配集但对某个 $V_j\in \Psi$，$V_i$ 与 $V_j$ 形成联盟，则称其为 $G$ 的联盟划分。$G$ 的联盟划分的最大基数称为 $G$ 的联盟数 $\mathcal{C}(G)$。给定 $G$ 的联盟划分 $\Psi = \{V_1, \ldots, V_k\}$，可关联定义联盟图 $\CG(G, \Psi)$，其顶点与 $\Psi$ 的成员一一对应，且 $\CG(G, \Psi)$ 中两顶点相邻当且仅当对应集合在 $G$ 中形成联盟。本文部分解决了 Haynes 等人 \cite{coal0} 提出的一个开放问题，并解决了 Haynes 等人 \cite{coal1} 提出的两个开放问题。我们刻画了所有满足 $\delta(G) \le 1$ 且 $\mathcal{C}(G)=n$ 的图 $G$，并刻画了所有满足 $\mathcal{C}(T)=n-1$ 的树 $T$。我们确定了由给定路的所有联盟划分所能定义的联盟图的数量。此外，我们证明不存在通用联盟路，即一条其联盟划分能定义所有可能联盟图的路。