弦图子类的传递性

设 $G=(V, E)$ 为一图,其中 $V$ 和 $E$ 分别为顶点集与边集。对于 $V$ 的两个不相交子集 $A$ 和 $B$,若 $B$ 中每个顶点在 $G$ 中均与 $A$ 中至少一个顶点相邻,则称 $A$ 支配 $B$。图 $G$ 的一个顶点划分 $\pi = \{V_1, V_2, \ldots, V_k\}$ 若对所有 $1\leq i<j\leq k$ 均有 $V_i$ 支配 $V_j$,则称为传递 $k$-划分。使得上述划分存在的最大整数 $k$ 称为 $G$ 的传递性,记作 $Tr(G)$。最大传递性问题旨在求给定图具有最多划分数的传递划分。已知该问题的判定版本对于弦图是 NP-完全的 [Iterated colorings of graphs, \emph{Discrete Mathematics}, 278, 2004]。本文首先证明该问题对于弦图的两个子类——分裂图与二部链图的补图——可在线性时间内求解。我们还讨论了传递性的 Nordhaus-Gaddum 型关系,并为 J. T. Hedetniemi 和 S. T. Hedetniemi 提出的一个开放问题 [The transitivity of a graph, \emph{J. Combin. Math. Combin. Comput}, 104, 2018] 给出了反例。最后,我们刻画了具有固定传递性的传递临界图。