图的总传递性问题

设 $G = (V, E)$ 为一个图，其中 $V$ 和 $E$ 分别为顶点集和边集。对于两个互斥的子集 $A$ 和 $B$，若 $B$ 的每个顶点至少有一个邻居在 $A$ 中，则称 $A$ 支配 $B$。若图 $G$ 的一个顶点划分 $\pi = \{V_1, V_2, \ldots, V_k\}$ 满足 $V_i$ 支配 $V_j$（$1 \leq i < j \leq k$），则称其为大小为 $k$ 的传递划分。本文研究了一种传递划分的变体，即总传递划分（total transitive partition）。总传递性 $Tr_t(G)$ 定义为通过反复从图中移除一个全支配集直至无顶点剩余所得到的顶点划分的最大阶。因此，$V_1$ 是图 $G$ 的全支配集，$V_2$ 是图 $G_1 = G - V_1$ 的全支配集，而对于 $2 \leq i \leq k - 1$，$V_{i+1}$ 是图 $G_i = G - \bigcup_{j=1}^i V_j$ 的全支配集。阶为 $Tr_t(G)$ 的顶点划分称为 $Tr_t$-划分。最大总传递性问题即在给定图中寻找具有最大部数（part数）的总传递划分。首先，我们刻画了具有总传递性为 $1$ 和 $\omega(G) - 1$ 的分割图。此外，对于分割图 $G$ 和 $1 \leq p \leq \omega(G) - 1$，我们给出 $Tr_t(G) = p$ 的必要条件。进一步地，我们证明了该问题的判决版本对于二分图是 NP 完全的。在积极方面，我们证明了该问题对于二分链图可在线性时间内求解。最后，我们设计了一个在树上求解最大总传递性问题的多项式时间算法。