竞赛图的传递着色中的支配集

若用颜色 $1,2,\dots,k$ 对竞赛图 $T$ 进行边着色，使得由颜色 $i$ 的边定义的有向图 $T(i)$ 对每个 $1\le i \le k$ 都是传递定向的，则称该着色为\it $k$-传递\rm。我们探讨了第二作者提出的一个猜想：对于每个正整数 $k$，存在一个（最小的）$p(k)$，使得每个 $k$-传递竞赛图都有一个顶点数不超过 $p(k)$ 的支配集。我们展示了该猜想与其他猜想和结果之间的联系。例如，它是 Erd\H os、Sands、Sauer 和 Woodrow 提出的一个著名猜想的特例（因此即使该猜想为假也很有趣）。我们表明，该猜想蕴含了一个更强的猜想，即 B\'ar\'any 和 Lehel 关于用盒子覆盖点集结果的可能推广。所采用的原理还导出了 $d$ 维盒子覆盖数的一个上界 $O(2^{2^{d-1}}d\log d)$，在某种意义上接近最优，且优于所有先前的上界。我们还将 3 维情况下的已知最佳上界从 $3^{14}$ 改进为 64，并提出通过寻找奇偶竞赛图上的最大支配数来实现进一步改进的可能性。