$P_{k}$-自由蕴含小的二色数

我们提出一种纯组合二次时间算法，对任意$n$顶点$P_{k}$-自由竞赛图$T$（其中$P_{k}$是长度为$k$的有向路径），在$T$中找到一个大小为$n^{\frac{c}{k\log(k)^{2}}}$的传递子集。作为我们方法的副产品，我们得到了用于$P_{k}$-自由竞赛图上的最优无环着色问题的亚三次$O(n^{1-\frac{c}{k\log(k)^{2}}})$-近似算法。我们的结果在$\log(k)$因子内是紧的，意义如下：存在无限族$P_{k}$-自由竞赛图，其最大传递子集的大小至多为$n^{\frac{c\log(k)}{k}}$。作为推论，我们给出了关于有向路径的所谓Erdős-Hajnal系数（Erdős-Hajnal coefficients）的紧渐近结果。这些是关于素图无限族上这些系数的首批渐近结果中的一些。