$P_k$-free图的一个新刻画

不含长度为k的导出路径的图类，即$P_k$-free图，在图算法理论中扮演着重要角色。这促使人们寻找$P_k$-free图的特殊结构性质，包括替代性刻画。设$G$是一个连通的$P_k$-free图，$k \ge 4$。我们证明$G$有一个连通控制集，其导出子图要么是$P_{k-2}$-free，要么同构于$P_{k-2}$。令人惊讶的是，$G$的每一个最小连通控制集都具有这一性质。这给出了$P_k$-free图的一个新刻画：一个图$G$是$P_k$-free当且仅当$G$的每个连通导出子图都有一个连通控制集，其导出子图要么是$P_{k-2}$-free，要么同构于$C_k$。这改进并推广了若干先前的结果；特别地，$k=7$的情况解决了van 't Hof和Paulusma提出的一个问题[P_6-free图的一个新刻画，COCOON 2008]。在论文的第二部分，我们给出一个高效算法，对于给定的连通图$G$（有$n$个顶点和$m$条边），计算一个连通控制集$X$，具有如下性质：对于使得$G$是$P_k$-free的最小$k$，$X$的导出子图是$P_{k-2}$-free或同构于$P_{k-2}$。作为我们结果的一个应用，我们证明超图2-可着色性（通常是一个NP完全问题）可以在多项式时间内解决，对于其顶点-超边关联图是$P_7$-free的超图。