有向图在竞赛图中的浸入

最近，Draganić、Munhá Correia、Sudakov 和 Yuster 证明了每个具有 $(2+o(1))k^2$ 个顶点的竞赛图都包含一个具有 $k$ 个顶点的传递竞赛图的 $1$-细分，这在常数因子范围内是最优的。我们证明了他们关于浸入结果的对应结论。令 $f(k)$ 为最小整数，使得任何至少有 $f(k)$ 个顶点的竞赛图都必须包含一个具有 $k$ 个顶点的传递竞赛图的 $1$-浸入。我们证明 $f(k)=O(k)$，这在乘法因子范围内显然是最优的。如果坚持寻找一个具有 $k$ 个顶点的完全有向图的浸入，则竞赛图需要额外条件。事实上，我们证明了每个最小出度至少为 $Ck$ 的竞赛图必须包含一个具有 $k$ 个顶点的完全有向图的 $2$-浸入。这在 $C$ 的取值以及浸入中路径的阶数上 again 是最优的。