k-多数锦标赛的拉姆齐性质

拉姆齐理论的核心目标是确定受限制的离散结构族是否必然包含显著大于其未受限制结构族的更大齐次子结构。在锦标赛的语境中，众所周知，每个锦标赛都包含大小为 $\log n$ 的传递子图，且这已在常数因子上达到最佳。已广泛研究的受限制的锦标赛族之一是 $k$-多数锦标赛。它们通过对集合 $X$ 进行 $2k-1$ 个线性排序而获得，定义在 $X$ 上的锦标赛若满足：若 $u$ 在这些排序中至少在 $k$ 个排序中位于 $v$ 前面，则从 $u$ 指向 $v$。Milans、Schreiber 和 West 证明，这类锦标赛确实具有显著更大的传递锦标赛。更准确地说，他们证明每个 $k$-多数锦标赛包含大小为 $n^{2^{-\Theta(k)}}$ 的传递锦标赛。本文的主要目标是在 $k$ 的指数依赖性方面给出指数级改进，表明每个 $k$-多数锦标赛包含大小为 $n^{\Omega(1/k)}$ 的传递子集。最后，我们指出了与随机 $k$-多数锦标赛相关的若干开放问题和猜想方向。