随机竞赛中的广义王与单淘汰胜者

竞赛图可用于建模多种实际场景，包括体育竞赛与选举。竞赛图中备选方案自然强度概念的一种是广义王：若一备选方案可通过长度至多为 $k$ 的有向路径到达竞赛图中其他所有备选方案，则称其为 $k$-王。本文中，我们对两种随机模型下具有高概率使所有、大量或少量备选方案为 $k$-王的阈值概率给出了近乎完整的刻画。我们表明，或许令人惊讶的是，阈值的所有变化均发生在常数 $k$ 的范围内，其中最大的变化介于 $k=2$ 与 $k=3$ 之间。此外，我们建立了在某些赛制下所有备选方案均可能赢得单淘汰竞赛的阈值概率的渐近紧界。