当你挑战国王时最好别失手

竞赛图是完全图的一个定向。我们说竞赛图 $\vec T$ 中的顶点 $x$ 控制另一个顶点 $y$，如果存在一条从 $x$ 到 $y$ 的长度至多为 2 的有向路径。一个顶点若控制竞赛图中的每个顶点，则称为王。众所周知，每个竞赛图都有一个王。我们遵循 Shen、Sheng 和 Wu（SIAM J. Comput., 2003）研究寻找王的查询复杂度，即为了确定地识别至少一个顶点为王，必须知道的 $\vec T$ 中弧的数量。前述作者证明了人们总是必须查询至少 $\Omega(n^{4/3})$ 条弧，并给出了一个最多查询 $O(n^{3/2})$ 条弧的策略。虽然这个上界对原问题尚未被改进，但 Biswas 等人（Frontiers in Algorithmics, 2017）证明了用 $O(n^{4/3})$ 次查询可以识别一个半王，即控制至少一半所有顶点的顶点。我们的贡献是一种新颖策略，改进了被控制顶点的数量：使用 $O(n^{4/3} \operatorname{polylog} n)$ 次查询，我们可以识别一个 $(\frac{1}{2}+\frac{2}{17})$-王。为实现这一目标，我们使用了竞赛图的一个新颖结构结果。