奇异与非奇异竞赛矩阵的结构

竞赛图是完整图定向后得到的 directed graph（有向图）；因此，若 $M$ 为某竞赛图的邻接矩阵，则 $M + M^T$ 是一个对角元为 $0$、其余元素均为 $1$ 的矩阵。竞赛图理论中一个悬而未决的问题是对奇异（或非奇异）竞赛图的邻接矩阵进行分类。我们利用竞赛图作为图的结构，特别是其圈结构来研究该问题。更具体地，我们尽可能精确地找出长度为三的圈的数量，该数量决定了相应竞赛矩阵是奇异还是非奇异。我们还对具有指定长度为三的圈数的竞赛图给出了结构分类。