关于竞赛图与 $\mathcal{D}_k$ 的行列式

设 $T$ 是一个具有 $n$ 个顶点 $v_1,\ldots,v_n$ 的竞赛图。$T$ 的斜邻接矩阵是一个 $n\times n$ 的零对角矩阵 $S_T = [s_{ij}]$，其中如果 $v_i$ 支配 $v_j$，则 $s_{ij}=-s_{ji}=1$。我们定义 $T$ 的行列式 $\det(T)$ 为 $S_T$ 的行列式。众所周知，如果 $n$ 为奇数，则 $\det(T)=0$；如果 $n$ 为偶数，则 $\det(T)$ 是一个奇数的平方。设 $\mathcal{D}_k$ 是所有子竞赛图的行列式至多为 $k^{2}$ 的竞赛图的集合，其中 $k$ 是一个正奇数。$T\in \mathcal{D}_1$ 或 $T\in \mathcal{D}_3$ 的充要条件已于 2023 年被刻画。在本文中，我们刻画了集合 $\mathcal{D}_5$，并得到了 $\mathcal{D}_k$ 的一些性质。此外，对于任意正奇数 $k$，我们给出了一个满足 $\det(T)=k^2$ 的竞赛图 $T$ 的构造，并且当 $k\geq 3$ 时 $T\in \mathcal{D}_k\backslash\mathcal{D}_{k-2}$，这意味着对于 $k\geq 3$，$\mathcal{D}_k\backslash\mathcal{D}_{k-2}$ 非空。